波動方程式を解く

www.nicovideo.jp

単位

• メートル→ピクセル
• 秒→１フレーム

波動方程式

(1/s2) * (d2u / dt2) = Δu

• 1/s2 = 伝搬
• uは波の高さ
• d2/dt2は２回微分を表す（二階微分なので変化量の変化量）
• つまり時間に対する変化の変化
• Δはラプラス演算子（ラプラシアン）

d2u/dt2

• 波の高さの時間における変化の変化
• 位置の変化＝速度
• 速度の変化 = 加速度 →波の上下運動の加速度

Δu

• ラプラス演算子（知らないとわからん！）
• Δu=d2/dx2u + d2/dy2u
• 位置の二階微分
• 波面uの　傾きの変化量

ラプラス演算をデジタルで表現すると

位置の変化量

• (u[x-1]-u[x])
• (u[x]-u[x+1])

位置の変化量の変化量

• (u[x-1]-u[x])-(u[x]-u[x+1])
• = u[x-1] - 2*u[x] + u[x+1]
• ラプラシアンは変化量の変化量である！（一次元はラプラシアンとはいわないのかな）

二次元なら

0 1 0 1 -4 1 0 1 0 の形、ラプラシアン！

つまり

波面の高さにラプラシアンフィルタをかけた値に、適当な係数をかけて、波面の上下動の加速度にしてやれば良い

コード

// 波のアップデート処理
function updateWave() {
    for (var x = 0; x < MAX; x++) {
             // 現在の波の高さにラプラシアンフィルタをかけ、
             // それを加速度とする。
            var nL = x-1;
            var nR = x+1;
            if(nL<0)nL=MAX-1;
            if(nR>MAX-1)nR=0;

            var accel = pos[nL] - 2 * pos[x] + pos[nR];
            
             // 伝播速度を掛ける
            accel *= k;

            // 現在の速度に加速度を足し、さらに減衰率を掛ける
            vel[x]= (vel[x] + accel) * attenuation;
            
            //ためしに、戻る方向のベクトル
            vel[x] += (0-pos[x])/speed;
    }
    
        for (var x = 0; x < MAX; x++) {
            pos[x] += vel[x];
        }
}